Question

（2009•湖北模拟）已知函数f(x)=

1

2

(ex+ex-2)（x＜1）（其中e是自然对数的底数）的反函数为f^-1（x），则有（　　）

• A．f-1(

  1

  2

  ) ＜f-1(

  3

  2

  )
• B．f-1(

  1

  2

  ) ＞f-1(

  3

  2

  )
• C．f-1(

  3

  2

  ) ＜f-1(2)
• D．f-1(

  3

  2

  ) ＞f-1(2)

Answer 1

分析：先判定函数f(x)=

1

2

(ex+ex-2)在（-∞，1）上的单调性，然后求出函数的值域即为反函数的定义域，从而可判定选项C、D的真假，根据单调性可得选项A、B的真假．

解答：解：∵e^x在（-∞，1）上单调递增，e^x-2在（-∞，1）上单调递增
∴函数f(x)=

1

2

(ex+ex-2)在（-∞，1）上单调递增
∴函数f(x)=

1

2

(ex+ex-2)的值域为（0，

1

2

（e+

1

e

））
则反函数为f^-1（x）的定义域为（0，

1

2

（e+

1

e

））
∵2不在定义域内∴选项C、D不正确
根据原函数的单调性与反函数的单调性一致可知反函数为f^-1（x）在（0，

1

2

（e+

1

e

））上单调递增
∴f-1(

1

2

) ＜f-1(

3

2

)
故选A．

点评：本题主要考查了反函数，以及原函数与反函数单调性之间的关系和指数函数的值域，属于中档题．