Question

已知定义域为R的函数是奇函数。
（1）求f(x)；
（2）是否存在最大的常数k，对于任意实数都有f(x)＞k，求出k；若不存在，说明理由；
（3）若对任意的t∈R，不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)＜0恒成立，求k的取值范围。

Answer 1

解：（1）因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，即，解得：b=1，
从而；
又由f(1)= -f(-1)知，解得：a=2，
∴。
（2）由（1）知
由上式易知f(x)在R上为减函数，，所以k=。
（3）由（1）知
由上式易知f(x)在R上为减函数，
又因f(x)是奇函数，
从而不等式等价于，
因f(x)是R上的减函数，由上式推得，，
即对一切t∈R有，
从而，解得：。