题目内容

是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n都成立？证明你的结论


解析:

从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立

把n=1,2,3代入得方程组，解得，

猜想：等式对一切都成立

下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立

（2）假设n=k时等式成立，即则

所以当n=k+1时，等式也成立

综合（1）（2），对等式都成立

【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式

练习册系列答案
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是否存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）对于任意的n∈N+总成立？若存在，求出来并证明；若不存在，说明理由．
已知f(x)=2sin2x+2
3
sinxcosx，x∈[0，
π
2
]．
（1）求函数f（x）的最值，及相应的x值；
（2）若|f（x）-a|≤2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）=-2af（x）+2a+b，是否存在常数a，b∈Z，使得g（x）的值域为[-2，4]？若存在，求出相应a，b的值，若不存在，请说明理由．
在公差为d（d≠0）的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在常数a，b，使得对于一切正整数n，都有an=logabn+b成立？若存在，求出常数a和b，若不存在说明理由．
（2007•河东区一模）已知公差不为零的等差数列{xn}和等比数列{yn}中，x1=y1=1，x2=y2，x6=y3．是否存在常数a、b，使得对于一切正整数n，都有xn=logayn+b成立？如果存在，求出a和b的值；如果不存在，请说明理由．
（2008•虹口区二模）已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（
n+1n
）2an
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=（An2+Bn+C）•2n，是否存在常数A、B、C，使对一切n∈N*，均有an=bn+1-bn成立？若存在，求出常数A、B、C的值，若不存在，说明理由
（3）求证：a1+a2+…+an≤（n2-2n+2）•2n，（ n∈N*）

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