题目内容
已知抛物线x2=2y的焦点为F，准线为l，过l上一点P，作抛物线的两条切线，切点分别为A、B，某数学兴趣小组在研究讨论中，提出如下两个猜想：
①直线PA、PB垂直；
②等式
中λ为常数；现请你进行一一验证这两个猜想是否成立．
解：①由题意，可设点P（t，-0.5）．A（2a，2a2）．B（2b，2b2）．对2y=x2求导得：y'=x．易知；
，
，即a，b满足2x2+0.5=4x2-2tx．∴2x2-2tx-0.5=0．∴ab=
．
又两切线PA，PB的斜率为2a，2b．而2a×2b=4ab=-1．故PA，PB垂直．
②
，
∴
∵P（a+b，-
），∴
，∴
∴
∴
∴λ=-1
分析：①要证直线PA、PB垂直，只需证相应斜率为-1；
②分别用坐标表示向量，分别计算
，
，可得λ=-1．
点评：本题以抛物线为载体，考查导数的运用，考查直线的垂直，考查用坐标表示向量，有一定的综合性．
，，即a，b满足2x2+0.5=4x2-2tx．∴2x2-2tx-0.5=0．∴ab=．又两切线PA，PB的斜率为2a，2b．而2a×2b=4ab=-1．故PA，PB垂直．
②
，∴
∵P（a+b，-
），∴，∴∴
∴
∴λ=-1
分析：①要证直线PA、PB垂直，只需证相应斜率为-1；
②分别用坐标表示向量，分别计算
，，可得λ=-1．点评：本题以抛物线为载体，考查导数的运用，考查直线的垂直，考查用坐标表示向量，有一定的综合性．
练习册系列答案
相关题目