Question

12．已知数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{4}$，${a_{n+1}}=\frac{1}{{4（{1-{a_n}}）}}$．
（1）设${b_n}=\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求证：$\frac{a_2}{a_1}+\frac{a_3}{a_2}+…+\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}＜n+\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由${a_{n+1}}=\frac{1}{{4（{1-{a_n}}）}}$．${b_n}=\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，可得b_n+1-b_n，再利用等差数列的定义即可判断出；
（2）由（1）知b_n=-2n-2，可得$\frac{2}{{2{a_n}-1}}=-2n-2$，解得a_n，计算出$\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}$，即可证明．

解答 （1）证明：${a_{n+1}}=\frac{1}{{4（{1-{a_n}}）}}$，
∴${b_{n+1}}=\frac{2}{{2{a_{n+1}}-1}}=\frac{2}{{\frac{2}{{4（{1-{a_n}}）}}-1}}=\frac{2}{{2{a_n}-1}}-2=b{\;}_n-2$，
∴b_n+1-b_n=-2，
又${a_1}=\frac{1}{4}$，∴${b_1}=\frac{2}{{2{a_1}-1}}=-4$，
∴数列{b_n}为等差数列，且首项为-4，公差为-2．
（2）由（1）知b_n=-4+（n-1）（-2）=-2n-2，
即$\frac{2}{{2{a_n}-1}}=-2n-2$，
∴${a_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}=\frac{n}{{2（{n+1}）}}$，
由于$\frac{{{a_{k+1}}}}{a_k}=\frac{k+1}{{2（{k+2}）}}•\frac{{2（{k+1}）}}{k}=\frac{{{{（{k+1}）}^2}}}{{k（{k+2}）}}=1+\frac{1}{{k（{k+2}）}}=1+\frac{1}{2}（{\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}}）$，
∴$\frac{a_2}{a_1}+\frac{a_3}{a_2}+…+\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=n+\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$
=$n+\frac{1}{2}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）＜n+\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、“裂项求和”方法、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．