Question

已知定义在R上的函数f（x）=2^x+

a

2x

，
（1）若 f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据 f（x）为偶函数，建立方程即可求a的值；
（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据函数单调性的定义建立条件关系即可求a的取值范围．

解答：解：（1）若 f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
即2^-x+

a

2-x

=2^x+

a

2x

，
∴2^-x+a•2^x=2^x+a•2^-x，
又对任意的x∈R都成立，
∴a=1．
（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，
则设0≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f(x1)-f(x2)=2x1+

a

2x1

-2x2-

a

2x2

=(2x1-2x2)(1-

a

2x1?2x2

)＜0，
∵0≤x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
即1-

a

2x1?2x2

＞0，
∴a＜2x1?2x2=2x1+x2，
∵0≤x₁＜x₂，
∴2x1+x2＞1，
即a≤1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．