Question

已知数列{a_n}满足

an+1

n

=

an

n+1

+

2

n(n+1)

，a1=1，数列{b_n}满足b_n=na_n
（1）证明数列{b_n}是等差数列；（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{2ⁿb_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析：（1）对

an+1

n

=

an

n+1

+

2

n(n+1)

两边同乘以n（n+1），得（n+1）a_n+1=na_n+2，从而可得b_n+1=b_n+2，由等等差数列的定义可作出判断；
（2）由（1）可求得b_n，从而可求得a_n；
（3）表示出2ⁿb_n，利用错位相减法可求得S_n．

解答：（1）证明：∵

an+1

n

=

an

n+1

+

2

n(n+1)

，
∴（n+1）a_n+1=na_n+2，
∴b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2，
故数列{b_n}是以b₁=a₁=1为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）得b_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴nan=2n-1∴an=

2n-1

n

；
（3）由（2）b_n=2n-1，
∴2nbn=(2n-1)2n，
∴Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)2n，
∴2Sn=1•22+3•23+5•24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)2n+1，
两式相减，得(1-2)Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)2n+1，
(1-2)Sn=2(2+22+23+…+2n)-2-(2n-1)2n+1=2×

2(1-2n)

1-2

-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Sn=(2n-1)2n+1+6．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、等差关系的确定及数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．