Question

（2008•临沂二模）如图，给出了一个三角形数阵，已知每一列的数成等差数列，从第3行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为a_ij（i≥j，i，j∈N^*）
（I）求a₄₃；    
（Ⅱ）写出a_ij；
（Ⅲ）设这个数阵共有n行，求数阵中所有数之和．

Answer 1

分析：（I）求出第一列的公差，理由等差数列的通项公式求a₄₃；    
（Ⅱ）利用等比数列的性质写出a_ij；
（Ⅲ）利用错误相减法求出数阵中所有数之和．

解答：：（I）题意知，第一列公差为d=

1

2

-

1

4

=

1

4

，所以a41=

1

4

+(4-1)×

1

4

=1，
由第3行得公比q=

1

2

，所以a₄₃=1×(

1

2

)2=

1

4

．
（Ⅱ）a_ij=

i

4

(

1

2

)j-1．
（Ⅲ）设数阵中第n行的所有数字之和为A_n，
则An=

n

4

(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=

n

4

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

n

2

-

1

2

×

n

2n

．
所求之和S=A₁+A₂+…+A_n=

1

2

(1+2+…+n)-

1

2

(1×

1

2

+2×

1

22

+…+n•

1

2n

)．
设Tn=1×

1

2

+2×

1

22

+…+n•

1

2n-1

，
则

1

2

Tn=1×

1

22

+2×

1

23

+…+n•

1

2n+1

，
两式相减得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
所以S=

n(n+1)

4

-1+

1

2n

+

n

2n+1

=

n2+n-4

4

+

n+2

2n+1

．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的综合运用，运算量较大，综合性较强，考查学生的运算能力．