Question

已知函数f（x）=

2bx

ax-1

(a≠0)，满足f（1）=1，且使f（x）=2x成立的实数x只有一个，
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若数列{a_n}满足a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n）（n∈N⁺），
（ⅰ）试求a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n；
（ⅱ）用数学归纳法加证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）=

2bx

ax-1

(a≠0)，满足f（1）=1，可得a=2b+1；根据f（x）=2x只有一解，可得4（1+b）²-4×2a×0=0，由此可得函数解析式；
（2）（ⅰ）利用a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），代入计算，可求a₂，a₃，a₄，从而猜想数列{a_n}的通项公式a_n；
（ⅱ）利用数学归纳法证明步骤，证明即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

2bx

ax-1

(a≠0)，满足f（1）=1，
∴a=2b+1
∵f（x）=2x只有一解，∴

2bx

ax-1

=2x只有一解，
即2ax²-2（1+b）x=0（a≠0）
∴4（1+b）²-4×2a×0=0
∴b=-1，∴a=-1
∴f（x）=

2x

x+1

；
（2）（ⅰ）∵a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），
∴a₂=f（a₁）=

4

5

，a₃=f（a₂）=

8

9

，a₄=f（a₃）=

16

17

，
猜想an=

2n

2n+1

；
（ⅱ）用数学归纳法证明如下：
①n=1时，左边=a₁=

2

3

，右边=

2

3

，∴猜想成立；
②假设n=k时，结论成立，即ak=

2k

2k+1

，
则n=k+1时，a_k+1=f（a_k）=

2ak

ak+1

=

2k+1

2k+1+1

，
即n=k+1时，结论成立
由①②可知an=

2n

2n+1

．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查数列的通项的猜想与证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．