Question

已知函数f（x）=2x²+ax-1，g（log₂x）=x²-

x

2a-2

．
（1）求函数g（x）的解析式，并写出当a=1时，不等式g（x）＜8的解集；
（2）若f（x）、g（x）同时满足下列两个条件：①?t∈[1，4]使f（-t²-3）=f（4t） ②?x∈（-∞，a]，g（x）＜8．
求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令t=log₂t，则x=2^t，故g（x）=（2^x）²-

4

2a

•2t．由此能求出当a=1时，不等式g（x）＜8的解集．
（2）①由-

a

4

=

-t2-3+4t

2

，知a=2（t²-4t+3）=2（t-2）²-2，由t∈[1，4]，得a∈[-2，6]．②由(2x)2-

4

2a

•2x＜8在x∈（-∞，a]上恒成立，知

4

2a

＞2x-

8

2x

在x∈（-∞，a]上恒成立．综合①②，能求出符合条件的实数a的取值范围．

解答：解：（1）令t=log₂t，则x=2^t，
∴g（t）=（2^t）²-

2t

2a-2

=（2^t）²-

4

2a

•2t，即g（x）=（2^x）²-

4

2a

•2x．
当a=1时，不等式g（x）＜8，即（2^x）²-2•2^x-8＜0．
∴2^x＜4，解得x＜2．
∴不等式g（x）＜8的解集是{x|x＜2}．
（2）①由题意，-

a

4

=

-t2-3+4t

2

，即a=2（t²-4t+3）=2（t-2）²-2，
由t∈[1，4]，得a∈[-2，6]．
②由题意，(2x)2-

4

2a

•2x＜8在x∈（-∞，a]上恒成立．
即

4

2a

＞2x-

8

2x

在x∈（-∞，a]上恒成立．
令μ=2^x，则μ∈（0，2^a]，∴

4

2a

＞μ-

8

μ

．
∵函数h(μ)=μ-

8

μ

在（0，2^a]上为增函数，
∴hmax(μ)=h(2a)=2a-

8

2a

，
∴

4

2a

＞2a-

8

2a

，解得2a＜2

3

，
∴a＜log22

3

．
综合①②，符合条件的实数a的取值范围是{a|-2≤a＜log22

3

}．

点评：本题考查不等式的解法和实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．