Question

请作出函数、(x≠0)的图象，并由图象指出相应函数的单调区间；对一般的m、n，根据函数(x≠0)(m，)的图象得出函数的单调区间，并用定义证明你的结论；如果把条件“m，”改为“m，nÎ R”，你能得到什么结论？

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)分别作出、(x≠0)、(x≠0)(m，)的图象： 观察图象知：的单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为[－1，0]，(0，1)；(x≠0)的单调递增区间为，，单调递减区间为，；(x≠0)(m，)的单调递增区间为，，单调递减区间为，． (2)下面证明：(x≠0)(m，在上是增函数． 设，是上的任意两个实数，且，则 ． ∵，∴，又，，则，∴． ∴(x≠0)(m，在上是增函数． 其他情形类似证明． (3)如果把条件“m，”改为“m，nÎ R”，则可以得到以下结论： 当m＞0，n＞0时，函数(x≠0)在，上是增函数，而在，上是减函数． 当m＞0，n=0时，函数是R上的增函数． 当m＞0，n＜0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数． 当m=0，n＞0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数． 当m=0，n=0时，函数h(x)=0为常值函数． 当m=0，n＜0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数． 当m＜0，n＞0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数． 当m＜0，n=0时，函数在(－∞，＋∞)上都是减函数． 当m＜0，n＜0时，函数(x≠0)在，上是减函数．在，上是增函数．