Question

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx(a、b是常数)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等实根．

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)方程f(x)＝x，即ax²＋bx＝x，

亦即ax²＋(b－1)x＝0.

由方程有两个相等实根，

得Δ＝(b－1)²－4a×0＝0，

∴b＝1.                            ①

由f(2)＝0，得4a＋2b＝0.            ②

由①、②得，a＝－，b＝1，

故f(x)＝－x²＋x.

(2)假设存在实数m、n满足条件，由(1)知，

f(x)＝－x²＋x＝－(x－1)²＋≤，

则2n≤，即n≤.

∵f(x)＝－(x－1)²＋的对称轴为x＝1，

∴当n≤时，f(x)在[m，n]上为增函数．

于是有

即

∴

又m＜n≤，∴

故存在实数m＝－2，n＝0，

使f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m,2n]．