Question

已知函数f（x）=ax³+bx²，f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为12x+2y-27=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，+∞），f′（x）≤klnx恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点（3，f（3））在切线上，可求点的纵坐标，又在曲线上，把求得的点的坐标代入曲线方程可得一个关于a，b的方程，再根据函数在点（3，f（3））处的切线的斜率列关于a，b的第二个方程，联立后即可求得a，b的值，则函数解析式可求；
（Ⅱ）求出函数的导函数后代入f′（x）≤klnx，把对任意的x∈[1，+∞），f′（x）≤klnx恒成立转化为x²-x+klnx≥0在x∈[1，+∞）恒成立，引入辅助函数g（x）=x²-x+klnx，而g（1）=0，则问题转化为函数g（x）=x²-x+klnx在[1，+∞）上为增函数，求k的值．把函数g（x）求导后，通过满足导函数在[1，+∞）上恒大于等于0可求实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）将x=3代入直线方程得y=-

9

2

，
∵点（3，f（3））也在函数f（x）=ax³+bx²的图象上，∴27a+9b=-

9

2

①
再由f'（x）=3ax²+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②
联立①②，解得a=-

1

3

，b=

1

2

．
∴f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2；
（Ⅱ）由f'（x）=-x²+x，∴f′（x）≤klnx恒成立，
即-x²+x≤klnx在x∈[1，+∞）上恒成立；
也就是x²-x+klnx≥0在x∈[1，+∞）恒成立；
设g（x）=x²-x+klnx，
∵g（1）=0，
∴只需对任意x∈[1，+∞）有g（x）≥g（1）即可．
g′(x)=2x-1+

k

x

=

2x2-x+k

x

，x∈[1，+∞)
设h（x）=2x²-x+k，
（1）当△=1-8k≤0，即k≥

1

8

时，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（1）．
（2）当△=1-8k＞0，即k＜

1

8

时，设x1，

x

2

是方程2x²-x+k=0的两根且x₁＜x₂
由x1+

x

2

=

1

2

，可知x₁＜

1

2

，要使对任意x∈[1，+∞）有g（x）≥g（1），
只需x₂≤1，即2×1²-1+k≥0，
∴k+1≥0，k≥-1
∴-1≤k＜

1

8

综上分析，实数k的取值范围为[-1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的切线方程问题，在曲线上某点处的切线的斜率就是该点的导数值，考查了导数在最大值和最小值中的应用，体现了数学转化思想和分类讨论的数学思想．此题属中档题．