Question

已知函数f（x）=

3

sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（-x）的单增区间为

[kπ+

π

3

，kπ+

5

6

π]，k∈Z

．

Answer 1

分析：将函数解析式提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，得到f（x）的周期为π，利用周期公式求出ω的值，确定出函数解析式，根据正弦函数的单调减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，求出x的范围，即为函数f（x）的单调增区间．

解答：解：f（x）=

3

sinωx+cosωx=2（

3

2

sinωx+

1

2

cosωx）
=2sin（ωx+

π

6

），
由y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，得到f（x）的周期为π，
∴T=

2π

|ω|

=π，又ω＞0，
∴ω=2，
故f（x）=2sin（2x+

π

6

），f（-x）=2sin（-2x+

π

6

）=-2sin（2x-

π

6

），
∵正弦函数的单调递减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3

2

π]，k∈Z，
∴令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π，k∈Z，即kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π，k∈Z，
则f（x）的单调增区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5

6

π]，k∈Z．
故答案为：[kx+

π

3

，kx+

5

6

π]，k∈Z

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期公式，正弦函数的单调性，以及复合函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．