Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝，S_n＝n²a_n－n(n－1)，n＝1,2，…

(1)证明：数列是等差数列，并求S_n；

(2)设b_n＝，求证：b₁＋b₂＋…＋b_n＜.

Answer 1

(1)由S_n＝n²a_n－n(n－1)知，

当n≥2时，S_n＝n²(S_n－S_n－1)－n(n－1)，

即(n²－1)S_n－n²S_n－1＝n(n－1)，

∴S_n－S_n－1＝1，对n≥2成立.

又S₁＝1，∴{S_n}是首项为1，公差为1的等差数列.

∴S_n＝1＋(n－1)·1，即S_n＝

(2)b_n＝

∴b₁＋b₂＋…＋b_n＝(－＋－＋…＋－＋－)

＝(－－)＜.