Question

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和为10，

an

a3n

是一个与n无关的常数，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式及数列{

1

Sn

}的前n项和T_n；
（2）若a₁，a₂，a₄恰为等比数列{b_n}的前三项，记数列c_n=a_n（cosnπ+b_n），求{c_n}的前n项和为K_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式及裂项求和即可求出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可求出．注意对n分奇偶讨论．

解答：解（1）∵

an

a3n

是一个与n无关的常数，∴a₁=d．
又S4=4a1+

1

2

×4×3×d=10a1=10，∴a₁=1，
∴a_n=n，Sn=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．
（2）∵b₁=a₁=1，b₂=a₂=2，b3=a4=22是等比数列{b_n}的前3项，
∴bn=2n-1．
∴c_n=n（-1）ⁿ+n×2^n-1，
记An=-1+2-3+…+(-1)nn，
则An=

- n+1 2 ，当n为奇数时 n 2 ，当n为偶数时

，
B_n=1+2×2¹+3×2²+…n×2^n-1=（n-1）2ⁿ+1．
K_n=

(n-1)•2n- 1+n 2 ，当n为奇数时 (n-1)•2n+ n 2 ，当n为偶数时

．

点评：熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键．