Question

已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.

（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；

（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；

（3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围.

Answer 1

解析：(1) ；
(2) 由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以D>0，即，
设C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)，CD中点坐标为(x₀,y₀)，
则，
由方程组，消y得方程(k₂-k₁)x=p，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3) 求作点P₁、P₂的步骤：1°求出PQ的中点，
2°求出直线OE的斜率，
3°由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率，
4°从而得直线CD的方程：，
5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P₁、P₂的坐标．
欲使P₁、P₂存在，必须点E在椭圆内，
所以，化简得，，
又0<q <p，即，所以，
故q 的取值范围是．