Question

13．已知直线l：y=kx+b（k，b∈R）和圆C：x²+y²-2y-4=0，
（1）请你具体给出k，b的一组值，使直线l和圆C相切；
（2）当直线l与圆C相离时，k，b应满足什么条件；
（3）若b-k=1，试判断直线l和圆C的位置关系．

Answer 1

分析 （1）直线l和圆C相切，圆心到直线的距离d=r；
（2）当直线l与圆C相离时，圆心到直线的距离d=$\frac{|-1+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＞$\sqrt{5}$，可得k，b应满足的条件；
（3）若b-k=1，圆心到直线的距离d=$\frac{|-1+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$$＜\sqrt{5}$，即可判断直线l和圆C的位置关系．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2y-4=0的圆心坐标为（0，1），半径为$\sqrt{5}$．
圆心到直线的距离d=$\frac{|-1+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴k=2，b=6满足方程；
（2）圆心到直线的距离d=$\frac{|-1+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＞$\sqrt{5}$，则（b-1）²＞5（k²+1）；
（3）若b-k=1，圆心到直线的距离d=$\frac{|-1+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$$＜\sqrt{5}$，
∴直线l和圆C相交．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．