Question

已知不等式组

y≤x y≥-x x≤2

表示的平面区域为M，直线y=x与曲线y=

1

2

x2所围成的平面区域为N．
（1）区域N的面积为

2

3

；
（2）现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为

1

6

．

Answer 1

分析：（1）先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域N的面积，根据定积分公式解之即可．
（2）先求出区域M的面积，然后利用（1）中定积分求区域N的面积，最后利用几何概型的概率公式解之即可．

解答：解：（1）由方程组

y= 1 2 x2 y=x

解得，x₁=0，x₂=2．
故所求图形的面积为S=∫₀²xdx-∫₀²

1

2

x²dx
=

1

2

×2²-

1

6

×2³=

2

3

（2）不等式组

y≤x y≥-x x≤2

表示的平面区域M为一三角形，其面积为4，
由（1）知区域N的面积为

2

3

，
∴向区域M内随机抛掷一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为

2 3

4

=

1

6

故答案为：

2

3

；

1

6

．

点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及利用定积分求区域面积，属于中档题．