Question

已知点P(2，0)及圆C：x²＋y²－6x＋4y＋4＝0．

(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；

(2)设过点P的直线l₁与圆C交于M、N两点，当|MN|＝4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；

(3)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2，0)的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

答案：
解析：

(1)设直线的斜率为(存在)则方程为． 　　又圆C的圆心为，半径， 　　由，解得． 　　所以直线方程为，即． 　　当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件． 　　(2)由于，而弦心距， 　　所以，所以为的中点． 　　故以为直径的圆的方程为． 　　(3)把直线即．代入圆的方程， 　　消去，整理得． 　　由于直线交圆于两点， 　　故，即，解得． 　　则实数的取值范围是． 　　设符合条件的实数存在， 　　由于垂直平分弦，故圆心必在上． 　　所以的斜率，而，所以．