Question

已知数列{a_n}是公差为正的等差数列，其前n和为S_n，点（n，S_n）在抛物线上；各项都为正数的等比数列{b_n}满足．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=2a_n-b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，S_n=n²+n，利用等差数列的性质可求得{a_n}的通项公式，由b₁b₃=，b₅=可求得{b_n}的通项公式；
（2）c_n=2a_n-b_n，利用分组求和的方法即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．
解答：解：（1）∵点（n，S_n）在抛物线y=x²+x上，
∴S_n=n²+n，
∴当n=1时，a₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=3n-1；
当n=1时，也适合上式，
∴a_n=3n-1；
∵{b_n}为各项都为正数的等比数列，且b₁b₃==，b₅=b₂•q³=，
∴b₂=，公比q=，
∴b_n=b₂•q^n-2=×=．
（2）∵c_n=2a_n-b_n=2（3n-1）-，
∴其前n项和T_n=c₁+c₂+…+c_n
=[（6×1-2）+（6×2-2）+…+（6n-2）]-[++…+]
=-2n-
=3n²+n-1+．
点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，着重考查等差数列与等比数列的分组求和与公式法求和，属于中档题．