Question

(2005天津，16)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)=________．

Answer 1

答案：0
解析：

解析：解法一：f(x)=0满足在R上是奇函数且图象关于直线对称．∴f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0；故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)=f(5)=0； 解法二：f(x)在R上是奇函数，∴f(0)=0，f(－x)=－f(x)，f(x)的图象关于直线对称，∴f(x)=f(1－x)． ∴f(1)=f(1－1)=f(0)=0； f(2)=f(1－2)=f(－1)=－f(1)=0； f(3)=f(1－3)=f(－2)=－f(2)=0； f(4)=f(1－4)=f(－3)=－f(3)=0； f(5)=f(1－5)=f(－4)=－f(4)=0． ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)=0． 解法三：以f(x)在R上是奇函数，∴f(0)=0，f(－x)=－f(x)． f(x)的图象关于直线对称，故f(x)=f(1－x)． ∴f(1－x)=f(x)=－f(－x)．设t=－x，则f(1＋t)=－f(t)， ∴f(2＋t)=f[1＋(1＋t)]=－f(1＋t)=－[－f(t)]=f(t)， 即f(2＋t)=f(t)，可知f(x)的周期是2． ∴f(1)=f(3)=f(5)，f(2)=f(4)．又f(1)=f(1－1)=f(0)=0， f(2)=f(1－2)=f(－1)=－f(1)=0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)=0．

提示：

剖析：根据奇函数的定义及对称性，可求得f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0．