Question

已知集合A={y|y=x²-6x+9，x∈R且x≠3}，B={x|（m+2）x²+2mx+1≤0}，且A?B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意，易得A={y|y＞0}，进而对B分类讨论，先对二次项系数m+2是否为0来讨论，另外当m+2≠0时，然后对判别式分△＜0和△≥0进行讨论求解，求出m的范围，综合可得答案．

解答：解：由y=x²-6x+9=（x-3）²，若x≠3，则y＞0，
故集合A={y|y=x²-6x+9，x∈R且x≠3}={y|y＞0}，
对于集合B，设f（x）=（m+2）x²+2mx+1，
（1）当m+2=0即m=-2时有-4x+1≤0，即有x≥

1

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，所以有A⊆B成立．
（2）当m+2≠0，易知须有m+2＞0，即有m＞-2．
①当△=（2m）²-4×（m+2）×1＜0时，B=∅，此时A?B成立，
解可得：-1＜m＜2，
②当△＞0时，B≠∅，，要有A?B成立，
必有

△=(2m)2-4(m+2)≥0 - m m+2 ＞0 f(0)＞0

，
解可得：-2＜m≤-1，
综合①②可得：当m+2≠0时，m的取值范围是-2＜m＜2，
综合（1）（2）得m的取值范围是：-2≤m＜2
答：m的取值范围是：-2≤m＜2．

点评：本题考查集合的子集的概念，一元二次不等式的解法，在解时，容易漏掉所设f（x）的最高次项x²系数为0即m=-2时的情况，也容易遗漏A=∅，即f（x）的判别式△＜0的情形．