Question

3．a为实数，函数f（x）=|x²-ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=2$\sqrt{2}$-2时，g（a）的值最小．

Answer 1

分析 通过分a≤0、0＜a≤2$\sqrt{2}$-2、a＞2$\sqrt{2}$-2三种情况去函数f（x）表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论．

解答 解：对函数f（x）=|x²-ax|=|（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$|分下面几种情况讨论：
①当a≤0时，f（x）=x²-ax在区间[0，1]上单调递增，
∴f（x）_max=g（1）=1-a；
②当0＜a≤2$\sqrt{2}$-2时，$f（\frac{a}{2}）$=$|（\frac{a}{2}）^{2}-a×\frac{a}{2}|$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（1）=1-a，
∵$\frac{{a}^{2}}{4}$-（1-a）=$\frac{（a+2）^{2}}{4}$-2＜0，
∴f（x）_max=g（1）=1-a；
③当2$\sqrt{2}$-2＜a≤1时，f（x）_max=g（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a＜2\sqrt{2}-2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，2\sqrt{2}-2＜a≤1}\end{array}\right.$，
∴g（a）在（-∞，$2\sqrt{2}-2$]上单调递减，在[$2\sqrt{2}-2$，+∞）上单调递增，
∴g（a）_min=g（$2\sqrt{2}-2$）；
④当1＜a＜2时，g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
⑤当a≥2时，g（a）=f（1）=a-1；
综上，当a=$2\sqrt{2}-2$时，g（a）_min=3-2$\sqrt{2}$，
故答案为：$2\sqrt{2}-2$．

点评 本题考查求函数的最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．