Question

7．已知正项等比数列{a_n}满足：a₆=a₅+2a₄，若存在两项a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=2a₁，则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． $\frac{28}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 根据等比数列的通项公式建立条件关系求出m+n=4，利用基本不等式进行求解即可．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵a₆=a₅+2a₄，∴a₁q⁵=a₁q⁴+2a₁q³，
化为q²-q-2=0，又q＞0，解得q=2．
∵存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=2a₁，
∴$\sqrt{{a}_{1}{2}^{m-1}•{a}_{1}{2}^{n-1}}$=2a₁，
平方化简2^m+n-2=4，
∴m+n-2=2，即m+n=4．
∴$\frac{m}{4}$+$\frac{n}{4}$=1，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）（$\frac{m}{4}$+$\frac{n}{4}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{9}{4}$+$\frac{n}{4m}$+$\frac{9m}{4n}$≥$\frac{10}{4}$+2$\sqrt{\frac{n}{4m}•\frac{9m}{4n}}$=$\frac{5}{2}$$+2×\frac{3}{4}$
=$\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=\frac{8}{2}$=4．
当且仅当$\frac{n}{4m}$=$\frac{9m}{4n}$，即n=3m时取等号，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为4，
故选：D

点评 本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，利用1的代换是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．