Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

(2a+1)x2+(a2+a)x．
（1）若函数h(x)=

f′(x)

x

为奇函数，求a的值；
（2）若?m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围；
（3）若a＞-1，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求函数f'（x），利用h（x）是奇函数，建立方程关系进行求解．
（2）将条件直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，转化为k不在导函数值域范围内．
（3）利用导数求f（x）在区间[0，1]上的最大值．

解答：解：（1）∵f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a），
∴h(x)=

x2-(2a+1)x+(a2+a)

x

，
∵h（x）为奇函数，
∴f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）为偶函数，
即2a+1=0，
解得a=-

1

2

．
（2）若?m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，
即k不在导函数值域范围内．
∵f′(x)=(x-

2a+1

2

)2-

1

4

，
∴f′(x)=(x-

2a+1

2

)2-

1

4

≠k对x∈R成立，
只要f'（x）的最小值大于k即可，
∴k的范围为k＜-

1

4

．
（3）∵a＞-1，
∴a+1＞0，
当a≥1时，f'（x）≥0对x∈[0，1]成立，
∴当x=1时，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
当0＜a＜1时，在x∈（0，a），f'（x）＞0，f（x）单调递增，
在x∈（a，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=a时，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2；
当a=0时，在x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0；
当-1＜a＜0时，在x∈（0，a+1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
在x∈（a+1，1），f'（x）＞0，f（x）单调递增，
又f（0）=0，f(1)=a2-

1

6

，
当-1＜a＜-

6

6

时，f（x）在x=1取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
当-

6

6

＜a＜0时，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0；
当a=-

6

6

时，f（x）在x=0，x=1处都取得最大值0．
综上所述，当a≥1或-1＜a＜-

6

6

时，f（x）在x=1取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
当0＜a＜1时，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2；
当a=-

6

6

时，f（x）在x=0，x=1处都取得最大值0；
当-

6

6

＜a≤0时，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数在研究函数中的应用，综合性较强，运算量较大．