题目内容

已知抛物线y2=4ax（0＜a＜1=的焦点为F，以A（a+4，0）为圆心，|AF|为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）是否存在这样的a值，使|MF|、|PF|、|NF|成等差数列？如存在，求出a的值，若不存在，说明理由．
（1）F（a，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），
由 {，
y2=4ax
(x-a-4)2+y2=16
，消去y，得
?x2+2（a-4）x+（a2+8a）=0，
∵△＞0，∴x1+x2=2（4-a），
∴|MF|+|NF|=（x1+a）+（x2+a）=8．
（2）假设存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差数列，即2|PF|=|MF|+|NF|?|PF|=4x0=4-a，
∴
(x0-a)2+y02=16?(4-2a)2+y02=16?y02=16a-4a2

又
y02=(
y1+y2
2
)2=
y12+y22+2y1y2
4

=
4ax1+4ax2+2
4ax1
4ax2
4
=a(x1+x2)+2a
x1x2

=2a(4-a)+2a
a2+8a
?
2a(4-a)+2a
a2+8a
=16a-4a2?a=2，
与
△＞0
x1+x2＞0
x1x2＞0
y02＞0
?0＜a＜1矛盾．
∴假设不成立．
即不存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差数列．
练习册系列答案
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已知抛物线C1：y2=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为
2
，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为
π
4
的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）．
（1）求点P和Q的坐标；
（2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程．
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4
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（Ⅰ）求点P和Q的坐标；
（Ⅱ）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程；
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（1）求点P和Q的坐标；
（2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程．
已知抛物线C1：y2=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）．
（1）求点P和Q的坐标；
（2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程．

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