Question

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆T经过P(1，

6

3

)，Q(

2

，

3

3

)．
（I）求椭圆T的标准方程；
（II）椭圆T上是否存在点E（m，n）使得直线l：x=my+n交椭圆于M，N两点，且

OM

•

ON

=0？若存在求出点E坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（I）设椭圆方程为mx²+ny²=1，将坐标代入方程，即可求得椭圆的方程；
（II）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及

OM

•

ON

=0，即可求得结论．

解答：解：（I）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）
将坐标代入方程，得

m+ 2 3 n=1 2m+ 1 3 n=1

，∴

m= 1 3 n=1

，
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1…（4分）
（II）联立方程

x2+3y2=3 x=my+n

，消去x可得（m²+3）y²+2mny+n²-3=0，
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）
∴y1+y2=

-2mn

m2+3

，y1y2=

n2-3

m2+3

…（6分）
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=0，即y₁y₂+（my₁+n）（my₂+n）=0
所以(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=0，
将韦达代入上式，化简得：4n²=3（m²+1）①…（8分）
又点E（m，n）在椭圆上，∴

m2

3

+n2=1，∴n2=1-

m2

3

②
由①②得m2=

3

13

，n2=

12

13

，
所以E(±

3 13

，±

12 13

)…（12分）

点评：本题考查椭圆轭标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．