Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

1

2

n2+

1

2

n，
（1）求通项公式a_n的表达式；
（2）令b_n=a_n•2^n-1，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（1）因为给出了数列{a_n}的前n项和S_n=

1

2

n2+

1

2

n，所以可用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1来求数列{a_n}的通项公式，再判断n=1是否符合通项公式即可．
（2）把（1）中求出的数列{a_n}的通项公式代入b_n=a_n•2^n-1，求出数列{b_n}的通项公式，再利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

1

2

n-

1

2

（n-1）²-

1

2

（n-1）=n，
当n=1时，a₁=S₁=1也适合上式，
∴通项公式a_n的表达式为a_n=n，
（2）b_n=a_n•2^n-1=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2×2¹+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1①
2T_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②
②-①得到，T_n=-（1•2⁰+1•2¹+…+1•2^n-1）+n•2ⁿ=（n-1）•2ⁿ+1
所以T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评：本题主要考查数列通项公式与前n项和之间的关系，数列求和常见的方法有：分组求和，裂项法、倒序相加法以及错位相减法求和．属于中档题．