Question

过点B（0，1）的直线l₁交曲线x=2于P（2，y₀），过点B'（0，-1）的直线l₂交x轴于P'（x₀，0）点，

x0

2

+y0=1，l₁∩l₂=M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l与C相交于不同的两点S、T，已知点S的坐标为（-2，0），点Q（0，m）在线段ST的垂直平分线上且

QS

•

QT

≤4，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定直线l₁、l₂的方程，联立方程可得动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，确定线段ST的中点坐标，分类讨论，利用

QS

•

QT

≤4，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意，直线l₁的方程是y=-

1-y0

2

x+1，
∵

x0

2

+y0=1，∴l₁的方程是y=-

x 0

4

x+1
若直线l₂与y轴重合，则M（0，1）；
若直线l₂不与y重合，可求得直线l₂的方程是y=

1

x0

x-1，与l₁的方程联立消去x₀得

x2

4

+y2=1，
因l₁不经过（0，-1），故动点M的轨迹C的方程是

x2

4

+y2=1（y≠-1）…（5分）
（Ⅱ）设T（x₁，y₁），直线l的方程为y=k（x+2）(k≠-

1

2

)
于是S、T两点的坐标满足方程组

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，由方程消去y并整理得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，从而y₁=

4k

1+4k2

设线段ST的中点为N，则N（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

）…（7分）
以下分两种情况：①当k=0时，点T的坐标为（2，0），线段ST的垂直平分线为y轴，
于是

QS

=(-2，-m)，

QT

=(2，-m)，由

QS

•

QT

≤4得：-2

2

≤m≤2

2

．
②当k≠0时，线段ST的垂直平分线方程为y-

2k

1+4k2

=-

1

k

（x+

8k2

1+4k2

）
令x=0，得m=-

6k

1+4k2

∵k≠-

1

2

，∴m≠

3

2

，
由

QS

•

QT

=-2x₁-m（y₁-m）=

-2(2-8k2)

1+4k2

+

6k

1+4k2

（

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

）=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

≤4
解得-

14

7

≤k≤

14

7

且k≠0，∴m=-

6k

1+4k2

=-

6

1 k +4k

∴当-

14

7

≤k＜0时，

1

k

+4k≤-4；当0＜k≤

14

7

时，

1

k

+4k≥4
∴-

3

2

≤m≤

3

2

，且m≠0
综上所述，-

3

2

≤m＜

3

2

，且m≠0．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．