Question

如图是一个组合体．它下部的形状是高为10m的圆柱，上部的形状是母线长为30m的圆锥．试问当组合体的顶点O到底面中心O′的距离为多少时，组合体的体积最大？最大体积是多少？

Answer 1

分析：设出圆锥的高与半径，表示出组合体的体积，利用函数的导数确定体积的最大值，求出组合体的顶点O到底面中心O′的距离，求解最大值即可．

解答：解：设圆锥的高为x，半径为r，则r=

900-x2

   （0＜x＜30）
V（x）=π(900-x2) ×10+

1

3

π (900-x2) •x
=

π

3

(3700-30x2+900x-x3)
V′（x）=-π（x²+20x-300）
令V′（x）=0解得x=-30（不合题意，舍去），x=10．
当0＜x＜10时，V′（x）＞0，V（x）为增函数；当10＜x＜30时，V′（x）＜0，V（x）为减函数
所以当x=10时，V（x）最大．即当OO′=20m时，组合体的体积最大…（9分）
最大体积为

32000π

3

．

点评：本题考查组合体的体积的求法，导数的应用，考查计算能力．