Question

已知数列{a_n}为等差数列.

(1)若a₁=3,公差d=1,且a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤48,求m的最大值;

(2)对于给定的正整数m,若a₁²+a_m+1²=1,求S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1的最大值.

Answer 1

解:(1)由a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤48,

可得a₁²-a₁+a₁+a₂+a₃+…+a_m≤48,又a₁=3,d=1,

可得6+3m+≤48.

整理得m²+5m-84≤0,

解得-12≤m≤7,即m的最大值为7.

(2)S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1=,

设a_m+1+a_2m+1=A,

则A=a_m+1+a_2m+1+a₁-a₁=a_m+1+2a_m+1-a₁=3a_m+1-a₁,

则a_m+1=,由a₁²+()²=1,

可得10a₁²+2Aa₁+A²-9=0,

由Δ=4A²-40(A²-9)≥0,

可得≤A≤.

所以S==≤，

即S的最大值为.