Question

 

设为实数，函数，

（1）讨论的奇偶性；

（2）求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

 解：(1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)²+｜–x｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.

当a≠0时，f(a)=a²+1,f(–a)=a²+2｜a｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)

此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.

（2）①当x≤a时，函数f(x)=x²–x+a+1=(x–)²+a+

若a≤，则函数f(x)在(–∞,a］上单调递减.

从而函数f(x)在（–∞,a上的最小值为f(a)=a²+1

若a＞，则函数f(x)在（–∞,a上的最小值为f()=+a，且f()≤f(a).

②当x≥a时，函数f(x)=x²+x–a+1=(x+)²–a+

若a≤–，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–)=–a，且f(–)≤f(a)；

若a＞–，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.

从而函数f(x)在［a,+∞）上的最小值为f(a)=a²+1.

综上，当a≤–时，函数f(x)的最小值为–a；

当–＜a≤时，函数f(x)的最小值是a²+1；

当a＞时，函数f(x)的最小值是a+.