Question

已知函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）求函数f（x）的值域
（2）若关于x的不等式f（x）≥a²-3a-7在x∈[0，5]上恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，解出值域即可；
（2）若满足条件，则a²-3a-7小于等于f（x）最小值，求出函数f（x）在[0，5]上的最小值，得到不等式解出即可．

解答：解：（1）f(x)=

-x-5，x＜- 1 2 3x-3，- 1 2 ≤x≤4 x+5，x＞4

当x＜-

1

2

时，f(x)＞-

9

2

当-

1

2

≤x≤4时，-

9

2

≤f(x)≤9x＞4时，f（x）＞9
综上，f(x)≥-

9

2

，值域[-

9

2

，+∞)
（2）由于f（x）≥a²-3a-7在x∈[0，5]上恒成立，
则使函数在[0，5]上最小值大于等于a²-3a-7即可
∵0≤x≤4时，f（x）=3x-3为增函数，∴-3≤f（x）≤9
又∵x＞4时，f（x）＞9∴x∈[0，5]时，f（x）≥-3
∴a²-3a-7≤-3，即a²-3a-4≤0，解得-1≤a≤4

点评：熟练掌握分类讨论方法解含绝对值符号的不等式、恒成立问题等价转化方法等是解题的关键．