Question

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）。
（1）求g（x）的单调区间和最小值；
（2）讨论g（x）与g（）的大小关系；
（3）求a的取值范围，使得g（a）-g（x）＜，对任意x＞0成立。

Answer 1

解：（1）由题设知
∴，令0，得x=1
当x∈（0，1）时，＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间
当x∈（1，+∞）时，＞0，故（1，+∞）是的单调递增区间，
因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1；
（2）
设
则
当x=1时，即
当时，
因此在内单调递减
当时，
即；
（3）由（1）知g（x）的最小值为1，
所以
对任意，成立
即
从而得。