Question

设满足以下两个条件：①a₁+a₂+…+a_n=0；②|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=1的有穷数列a₁，a₂，…，a_n称为n阶“期待数列”．
（Ⅰ）若某2k（k∈N^*）阶“期待数列”是等比数列，求该数列的通项公式；（1≤n≤2k，用k，n表示）
（Ⅱ）若某2k+1（k∈N^*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式a_n（1≤n≤2k+1）．（用k，n表示）．

Answer 1

分析：（1）利用2k（k∈N^*）阶“期待数列”是等比数列，通过公比q=1和q≠1，求该数列的通项公式．
（2）利用2k+1（k∈N^*）阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列a₁，a₂，a₃，…，a_2k（其中k≥1）的公比为q，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k=0，
当q=1时，有2k•a₁=0，得a₁=0，不能成等比数列；
当q≠1时，有

a1(1-q2k)

1-q

=0，由a₁≠0且1-q≠0，得1-q^2k=0，即q^k=±1，∴取q=-1，
由|a₁|+|a₂|+…+|a_2k|=1得，|a₁|+|a₂|+…+|a_2k|=2k|a₁|=1，∴|a₁|=

1

2k

，∴a₁=±

1

2k

，
∴a_n=±

1

2k

•（-1）^n-1（其中k、n∈N^*，1≤n≤2k）．
（Ⅱ）设等差数列a₁，a₂，a₃，…，a_2k+1（其中k≥1）的公差为d，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k+1=0，
∴（2k+1）a₁+

(2k+1)(2k+1-1)d

2

=0，
所以，a₁+kd=0，
即a_k+1=0，∴a_k+2=d，
当d=0时，则a₁=a₂=…=a_n=0，这与期待数列的条件②矛盾，
当d＞0时，据期待数列的条件①得：a _k+2+a _k+3+…+a _2k+1=

1

2

，
∴kd+

k(k-1)

2

d=

1

2

，即d=

1

k(k+1)

；
由a_k+1=0得，a₁+k•

1

k(k+1)

=0，∴a₁=-

1

k+1

，
∴a_n=-

1

k+1

+（n-1）•

1

k(k+1)

=

n

k(k+1)

-

1

k

（其中k、n∈N*，1≤n≤2k+1）．
当d＜0时，
同理可得kd+

k(k-1)

2

d=-

1

2

，即d=-

1

k(k+1)

由a_k+1=0得，a₁+kd=a₁-

k

k(k+1)

=0，∴a₁=

1

k+1

，
∴a_n=

1

k+1

+（n-1）•（-

1

k(k+1)

）=

1

k

-

n

k(k+1)

（其中k、n∈N*，1≤n≤2k+1）．

点评：本题考查了数列的新定义应用，求数列通项公式的方法，也考查了分析问题解决问题的能力和适当的运算能力．