Question

（16分）设{a_n}是等差数列，其前n项的和为S_n.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设{a_n}各项为正数，a₁=，a₁≠a₂，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；

②. 求集合的元素个数；

（3）设b_n=(a为常数，a>0，a≠1，a₁≠a₂)，数列{b_n}前n项和为T_n. 对于正整数c，

d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e， 试比较(T_c)^-1+(T_f)^-1与(T_d)^-1+(T_e)^-1的大小.

Answer 1

解析：【证】（1）{a_n}为等差数列，设其公差为，则

，于是（常数），

故数列是等差数列.                              …………………………3分

【解】（2）因为{a_n}为等差数列，所以是等差数列，

于是可设为常数)，从而.

因为m+p=2n，所以由两边平方得

，即，

亦即，………………………4分

于是，两边平方并整理得，即.                                  

 …………………………6分

因为m≠p，所以，从而，而a₁=，所以.

故.                                        …………………………7分

所以

.

因为15有4个正约数，所以数对（x，y）的个数为4个.

即集合中的元素个数为4.  ………………………9分

（3）因为（常数），

所以数列{b_n}是正项等比数列.

因为a₁≠a₂，所以等比数列{b_n}的公比q≠1.               ………………………10分

（解法一）  ①

.       ②

因为，所以要证②，只要证，   ③…………………13分

而③

.    ④

④显然成立，所以③成立，从而有.…………………16分

（解法二）注意到当n>m时，.       ……………………12分

于是

. ……………………14分

而，故.   ……………………16分

（注：第（3）问只写出正确结论的，给1分）