Question

已知等差数列{a_n}，对于函数f（x）满足：f（a₂-2）=（a₂-2）⁵+（a₂-2）³=6，f（a₂₀₁₀-4）=（a₂₀₁₀-4）⁵+（a₂₀₁₀-4）³=-6，其中S_n是其前n项和，则S₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

分析：先借助于函数f（x）=x⁵+x³是奇函数以及奇函数的性质求出a₂-2+a₂₀₁₀-4=0；再利用等差数列的性质求出a₁+a₂₀₁₁=6直接代入等差数列的求和公式即可．

解答：解：设函数f（x）=x⁵+x³
则函数f（x）为奇函数，故f（a）+f（b）=0?a+b=0．
∵f（a₂-2）=（a₂-2）⁵+（a₂-2）³=6，f（a₂₀₁₀-4）=（a₂₀₁₀-4）⁵+（a₂₀₁₀-4）³=-6，
∴a₂-2+a₂₀₁₀-4=0?a₂+a₂₀₁₀=6
∴a₁+a₂₀₁₁=6
∴s₂₀₁₁=

2011×(a1+a2011 )

2

=6033．
故答案为：6033．

点评：本题主要是对函数知识和数列知识的综合考查．解决本题的关键是借助于奇函数的性质求出a₂-2+a₂₀₁₀-4=0．