Question

（本小题满分14分）函数，其中，若存在实数，使得成立，则称为的不动点.
（1）当，时，求的不动点；
（2）若对于任何实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若函数的图像上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.

Answer 1

（1），2
（2）
（3）

（1）当，时，，设为不动点，则，
所以，即的不动点是，2。…………………………………（4分）
（2）由得，，
由已知此方程有相异的实根，则恒成立，即
，化简得………………………………（6分）
对任意的实数恒成立，则，即，解得。…（8分）
（3）设，则，所以。
记中点，由（2）知，因为点在直线上，所以=，化简得
（当时，等号成立）………………………………（12分）
又，所以。…………………………………………………………（14分）