题目内容

斜率为1，过抛物线y=
14
x2的焦点的直线截抛物线所得的弦长为（　　）
分析：根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可知弦长为x1+
p
2
+x2+
p
2
，求得答案．
解答：解：由抛物线y=
1
4
x2得x2=4y，∴p=2，焦点F（0，1）．
∴斜率为1且过焦点的直线方程为y=x+1．
代入x2=4y，消去y，可得x2-4x-4=0．
∴x1+x2=4．
∴直线截抛物线所得的弦长为x1+
p
2
+x2+
p
2
=x1+x2+p=4+2=6．
故选B．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．
练习册系列答案
相关题目
给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．
（Ⅰ）设l的斜率为1，求
OA
与
OB
夹角的大小；
（Ⅱ）设
FB
=λ
AF
，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S (0， -
1
2
)且斜率为1的直线l交椭圆C于M、N两点，求|MN|的值．
（2009•青浦区二模）（理）已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．
（1）设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l1、l2相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x0，0）．若x0=5，试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．
（2009•青浦区二模）（文）已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．
（1）设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l1、l2相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x0，0）．若x0＞2，试用x0表示线段AB中点的横坐标．

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