Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n．求满足不等式

Tn-2

2n-1

＞2010的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a_n+1}为等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的前n项和为T_n，代入可求满足不等式

Tn-2

2n-1

＞2010的n的最小值．

解答：（1）证明：当n=1时，2a₁=a₁+1，∴a₁=1．
∵2a_n=S_n+n，n∈N^*，∴2a_n-1=S_n-1+n-1，n≥2，
两式相减得a_n=2a_n-1+1，n≥2，即a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
∴数列{a_n+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*；
（2）解：b_n=（2n+1）a_n+2n+1=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=3•2+5•2²+…+（2n+1）•2ⁿ，
∴2T_n=3•2²+5•2³+…+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-T_n=3•2+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2
∴

Tn-2

2n-1

＞2010可化为2ⁿ⁺¹＞2010
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048
∴满足不等式

Tn-2

2n-1

＞2010的n的最小值为10．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列通项公式的求法，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．