Question

已知函数f（x）=

2x

x+1

（1）当x≥1时，证明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
（2）若数列{a_n}满足a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an

-1，n∈N⁺，证明数列{b_n}是等比数列，并求出数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），证明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜

1

3

Answer 1

（1）∵x≥1得f（x）-x=

2x

x+1

-x=

2x-x2-x

x+1

=

-x(x-1)

x+1

≤0，
而x≥1时，lnx≥0
∵x≥1时，f（x）-x≤lnx
∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立
（2）a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an

-1，n∈N⁺∴a_n+1=

2an

an+1

得

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

∴a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an

-1，n∈N⁺
∴

bn+1

bn

=

1 an+1 -1

1 an -1

=

1 2 + 1 2an -1

1 an -1

=

1 2an - 1 2

1 an -1

=

1

2

（n∈N⁺）
又b₁=

1

a1

-1=

1

2

∴{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，其通项公式为b_n=

1

2n

又a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an

-1，n∈N⁺
∴a_n=

1

bn+1

=

1

1 2n +1

=

2n

2n+1

（n∈N⁺）
（3）c_n=a_n•a_n+1•b_n+1=

2n

2n+1

×

2n+1

2n+1+1

×

1

2n+1

=

2n

2n+1

×

1

2n+1+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=（

1

21+1

-

1

22+1

）+（

1

22+1

-

1

23+1

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3