Question

【题目】已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）证明： 为上的增函数；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ； (2)见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据奇函数的定义，取x=1，得f（1）+f（﹣1）=0，解之得a=2，再经过检验可得当a=2时，f（x）+f（﹣x）=0对x∈R恒成立，所以f（x）是奇函数；（2）令t=2x，得，再用单调性的定义，证出当x1∈R，x2∈R且x1＜x2时，y1﹣y2=，讨论可得y1＜y2，所以f（x）在R上是增函数；（3）因为f（x）是奇函数，并且在R上是增函数，所以原不等式对任意的x∈R恒成立，即mx2+1＞mx﹣1对任意的x∈R恒成立，化简整理得关于m的一元二次不等式，最后经过分类讨论，可得实数m的取值范围为0≤m＜8．

试题解析：

（1）∵函数是奇函数，

∴，

可得，解之得： ，

检验： 时， ，

∴

∴对恒成立，即是奇函数.

∴

（2）证明：令，则

设， ，且，∵在上是增函数，∴，

当时，∴ ， ， ，∴，可得在上是增函数.

（3）∵是奇函数，

∴不等式等价于

∵在上是增函数，

∴对任意的，原不等式恒成立，即对任意恒成立，

化简整理得： 对任意恒成立，

（1）当时，不等式即为恒成立，符合题意；

（2）当时，有，即，

综上所述：可得实数的取值范围为.