Question

【题目】定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数．

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）不是，理由见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）当时，函数，换元后根据复合函数单调性求得函数值域为，故不存在；（2）依题意有，即，令换元后分离参数，利用基本不等式和函数的单调性求得实数的取值范围．

试题解析：

（1）当时，，令，∵，∴，；

∵在上单调递增，∴，即在上的值域为，

故不存在常数，使成立．∴函数在上不是有界函数．…………………………6分

（2）由题意知，对恒成立，

即：，令，∵，∴．

∴对恒成立，∴，

设，，由，

由于在上递增，在上递减，

在上的最大值为，

在上的最小值为．

∴实数的取值范围为．……………………12分