Question

已知M是曲线y=1nx+

1

2

x2+(1-a)x上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于

π

4

的锐角，则实数a的取值范围是

a≤2

．

Answer 1

分析：曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于

π

4

的锐角，则曲线在M点处的切线的不小于1，即曲线在M点处的导函数值不小于1，根据函数的解析式，求出导函数的解析式，构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：设M（x，y），f（x）=1nx+

1

2

x2+(1-a)x
∵f（x）=1nx+

1

2

x2+(1-a)x
∴f′（x）=

1

x

+x+（1-a）≥3-a
∵曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于

π

4

的锐角，
∴3-a≥1
∴a≤2
故答案为：a≤2

点评：本题考查的知识点是直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中利用基本不等式构造关于a的不等式是解答本题的关键．