题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，且在x轴上的顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l：x=t（t＞2）与x轴交于点T，P为l上异于T的任一点，直线PA1、PA2分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．
（1）由已知椭圆C的离心率e=
c
a
=
3
2
，a=2，可得 c=
3
，b=1，
∴椭圆的方程为
x2
4
+y2=1．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线A1M斜率为k1，则直线A1M的方程为y=k1（x+2），
由
y=k1(x+2)
x2
4
+y2=1
，解得x1=
-8
k21
+2
4
k21
+1
，y1=
4k1
4
k21
+1
，∴M点坐标为（
-8
k21
+2
4
k21
+1
，
4k1
4
k21
+1
）．
同理，设直线A2N的斜率为k2则N点坐标为（
8
k22
-2
4
k22
+1
，
-4k2
4
k22
+1
）．
由直线A1M与直线A2N的交点P（t，yp）在直线l上，
又yp=k1（t+2），yp=k2（t-2），∴k1（t+2）=k2（t-2），∴
k1-k2
k1+k2
=-
2
t
．
又MN的方程为
y-y1
x-x1
=
y2-y1
x2-x1
，令y=0，得  x=
x2y1-x1y2
y1-y2
=
4
t
．
即直线MN与x轴交点为(
4
t
，0)，又t＞2，∴0＜
4
t
＜2．
又椭圆右焦点为(
3
，0)，故当 t=
4
3
3
时，MN过椭圆的焦点．
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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