Question

（21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点.

（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；

（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.

Answer 1

（21）本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得

重心G（，），外心F（，），垂心H（b，）

当b=时，G、F、H三点的横坐标均为，故三点共线；

 

当b≠时，设G、H所在直线的斜率为k_GH，F、G所在直线的斜率为k_FG.

 

因为k_GH=

 

k_FG=

 

所以k_GH=k_FG，G、F、H三点共线

 

综上可得，G、F、H三点共线.

 

（Ⅱ）解：若FH∥OB，由k_FH==0，得3（b²－b）+c²=0（c≠0，b≠）,

 

配方得3（b－）²+c²=,

即=1.

 

即=1（x≠，y≠0）

因此，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短轴在x轴上的椭圆，

除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四点.