Question

设函数f(x)=x²+2bx+c(c＜b＜1),f(1)=0,且方程f(x)+1=0有实根.

(1)证明-3＜c≤-1;

(2)证明b≥0;

(3)若m是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(m-4)的正负并加以证明.

Answer 1

(1)证明：f(1)=01+2b+c=0b=-.

    又1＞b＞c,故1＞-＞c-3＜c＜-.

    方程f(x)+1=0有实根，即x²+2bx+c+1=0有实根.

    故Δ=4b²-4(c+1)≥0,即(c+1)²-4(c+1)≥0c≥3或c≤-1.

    又1＞b＞c,得-3＜c≤-1.

(2)证明：由b=-知b≥0.

(3)解：f(x)=x²+2bx+c=x²-(c+1)x+c

    =(x-c)(x-1).

    f(m)=-1＜0,

    ∴c＜m＜1.

    ∴c-4＜m-4＜-3＜c.

    ∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)＞0.

    ∴f(m-4)的符号为正.