Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|．下列四个不等关系中正确的是（　　）

• A．f（cos

  2π

  3

  ）＜f（sin

  2π

  3

  ）
• B．f（sin1）＞f（cos1）
• C．f（sin

  π

  6

  ）＜f（cos

  π

  6

  ）
• D．f（cos2）＞f（sin2）

Answer 1

分析：由f（x）=f（x+2）可知f（x）是以2为周期的函数，依题意可求得3≤x＜4时与4≤x≤5时f（x）的解析式，对A，B，C，D判断即可．

解答：解：∵x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|，
∴当3≤x＜4时，f（x）=x-2，
当4≤x≤5时f（x）=6-x，
又f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2为周期的周期函数；
当x∈[1，3]时，函数同x∈[3，5]时相同，
同理可得，1≤x＜2时f（x）=（x+2）-2=x，即f（x）在[1，2）上单调递增；
当2≤x≤3时f（x）=6-（x+2）=4-x，
所以，当0≤x≤1时f（x）=6-（x+2）=2-x，即f（x）在[0，1]上单调递减；
∵cos

2π

3

=-

1

2

，f（x）=f（x+2），
∴f（cos

2π

3

）=f（-

1

2

）=f（

3

2

）=

3

2

，f（sin

2π

3

）=f（

3

2

）=2-

3

2

，
显然，f（cos

2π

3

）＞f（sin

2π

3

），故A错误；
对于B，0＜cos1＜sin1＜1，f（x）在[0，1]上单调递减，
∴f（cos1）＞f（sin1），故B错误；
同理可得，f（sin

π

6

）＞f（cos

π

6

），故C错误；
对于D，f（cos2）=f（2+cos2）=2+cos2，f（sin2）=2-sin2，
f（cos2）-f（sin2）=2+cos2-2+sin2=sin2+cos2＞0，
故D正确．
故选D．

点评：本题考查不等关系与不等式，考查分段函数的解析式的求法与三角函数的单调性的综合应用，属于难题．