Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2

A-B

2

cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-

3

5

．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=4

2

，b=5，求角B、边c的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的降幂公式和诱导公式，化简题中等式得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-

3

5

，再利用两角和的正弦公式得cos[(A-B)+B]=-

3

5

，即得cosA的值；
（II）由同角三角函数关系算出sinA=

4

5

，再根据正弦定理得出sinB=

bsinA

a

=

2

2

，结合题意算出B=

π

4

．最后根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子加以计算，即可得到边c的值．

解答：解：（I）由2cos2

A-B

2

cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-

3

5

，
得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-

3

5

，…（3分）
即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-

3

5

，可得cos[(A-B)+B]=-

3

5

，
即cosA=-

3

5

．…（6分）
（II）由cosA=-

3

5

，0＜A＜π，得sinA=

4

5

，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得sinB=

bsinA

a

=

2

2

．
由题意a＞b，则A＞B，故B=

π

4

．…（9分）
再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
(4

2

)2=52+c2-2×5c×(-

3

5

)，解之得c=1（c=-7舍去）．…（12分）

点评：本题着重考查了三角函数恒等变换公式、正弦定理、余弦定理和三角形大角对大边等知识，属于中档题．